Осевая и центральная симметрии. Проводим урок с ЭФУ

Подписи к слайдам:

Слайд 1

Центральная и осевая симметрии

Слайд 2

План урока Теоретическая самостоятельная работа с самопроверкой. Изучение нового материала с использованием презентации. Закрепление нового материала с использованием презентации.

Слайд 3

Ответы к тесту Вариант №1. Ч В заданиях вставьте пропущенные слова в определениях и теоремах. 1. *** называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. а) прямоугольник б) трапеция в) ромб г) четырехугольник 2.Прямоугольник – это ***, у которого все углы прямые. а) трапеция б) четырехугольник в) ромб г) параллелограмм 3. Диагонали ромба являются *** его углов. а) медианами б) высотами в) средними линиями г ) биссектрисами 4. *** называется четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны. а) прямоугольник б) параллелограмм в) трапеция г) ромб 5. У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие *** равны. а) вершины б) углы в) прямые г) отрезки 6. Ромб – это ***, у которого все стороны равны. а) четырехугольник б) прямоугольник в) квадрат г) параллелограмм 7. *** параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. а) вершины б) стороны в) углы г) диагонали 8. Диагонали *** равны. а) четырехугольника б) ромба в) прямоугольника г) трапеции Вариант №2. В заданиях вставьте пропущенные слова в определениях и теоремах. 1. *** называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. а) четырехугольник б) трапеция в) ромб г) прямоугольник 2.Прямоугольник – это ***, у которого все углы прямые. а) трапеция б) параллелограмм в) ромб г) четырехугольник 3. Диагонали ромба являются *** его углов. а) медианами б) высотами в) биссектрисами г) средними линиями 4. *** называется четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны. а) прямоугольник б ) трапеция в) параллелограмм г) ромб 5. У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие *** равны. а) вершины б) отрезки в) прямые г) углы 6. Ромб – это ***, у которого все стороны равны. а) параллелограмм б) прямоугольник в) квадрат г) четырехугольник 7. *** параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. а) вершины б) диагонали в) углы г) стороны 8. Диагонали *** равны. а) четырехугольника б ) прямоугольника в) ромба г) трапеции

Слайд 4

Ответы к тесту Вариант №1. 1 г 2 г 3 г 4 в 5 б 6 г 7 г 8 в Вариант №2. 1 а 2 б 3 в 4 б 5 г 6 а 7 б 8 б

Слайд 5

Центральная и осевая симметрии

Слайд 7

Точки А и А 1 называются симметричными относительно точки О , если О — середина отрезка АА 1 . О — центр симметрии А А 1 О Точка О считается симметричной самой себе. Центральная симметрия

Слайд 8

Какие из точек симметричны относительно точки О ? N N 1 О M M 1 Q P

Слайд 9

Задание1 Построить треугольник, симметричный АВС относительно точки О . О В А С А 1 С 1 В 1 Построение.

Слайд 10

Фигура называется симметричной относительно точки О , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. О О Примеры фигур, имеющих центр симметрии. О О

Слайд 11

Осевая симметрия Две точки А и А 1 называются симметричными относительно прямой n , если эта прямая проходит через середину отрезка АА 1 и перпендикулярна к нему. n А А 1 n – ось симметрии О

Слайд 12

Какие из точек симметричны относительно прямой b ? b N N 1 M M 1 A A P

Слайд 13

b С В А А 1 В 1 С 1 Задание 2 Построить треугольник, симметричный АВС относительно прямой b Построение.

Слайд 14

Фигура называется симметричной относительно прямой n , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой n также принадлежит этой фигуре. Примеры фигур, имеющих ось симметрии.

Слайд 15

Примеры фигур, обладающих центральной и осевой симметрией.

Видео

Центральная симметрия

Теперь поговорим о центральной симметрии — вот ее определение:

Центральной симметрией называется симметрия относительно точки.

На картинках центральная симметрия: точка O здесь — центр симметрии

Фигуры с центральной симметрией, как и фигуры с осевой симметрией, окружают нас повсюду. Центральную симметрию можно заметить в живой природе, в разрезе фруктов и в цветах.

Давайте разберемся, как построить центральную симметрию и рассмотрим алгоритм построения фигур с центральной симметрией.

Пример 1: Постройте треугольник A₁B₁C₁ ,симметричный треугольнику ABC, относительно центра (точки О).

1. Соединяем точки ABC c центром и выводим эти прямые на другую сторону оси.
2. Измеряем отрезки AO, BO, CO и откладываем равные им отрезки с другой стороны от центра (точки О).
3. Получившиеся точки соединяем отрезками A₁B₁ A₁C₁ B₁C₁.
4. Получаем треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC, относительно центра.

Пример 2. Построить отрезок A₁B₁, симметричный отрезку AB относительно центра (точки О).

1. Измеряем расстояние от точки B до точки О и от точки А до точки О.
2. Проводим прямую из точки А через точку О и выводим ее на другую сторону.
3. Проводим прямую из точки B через точку О и выводим ее на другую сторону.
4. Чертим на противоположной стороне отрезки А₁О и B₁О, равные отрезкам АО и АB.
5. Соединяем точки A₁ и B₁ и получаем отрезок A₁B₁, симметричный данному.

Центральная симметрия

Это явление относительно некой точки. Она представляет собой преобразование множества точек пространства или поверхности, во время которого ее центр всегда постоянен и не меняет своего положения.

Данный вид симметрии предполагает, что на равном расстоянии от ее центра располагаются два предмета, например, две точки. Если провести между ними условную прямую, они будут располагаться на ее противоположных концах, а середина этой прямой и будет являться осевым центром. 

Если считать центр неподвижным и начать преобразовывать прямую (т. е. вращать ее относительно центральной точки), то точки на ее концах опишут две кривые. Все точки одной кривой будут иметь такие же симметричные точки на другой кривой.

Объекты, обладающие центром симметрии, представляют большой интерес для ученых. В геометрии насчитывается достаточно много таких объектов. К ним относятся прямые, отрезки, окружность, прямоугольник и др. Центрально симметричные объекты встречаются и в природе.

Рис. 2 Графическое представление центральной симметрии

Фигуры, имеющие несколько осей симметрии

Есть предметы и геометрические фигуры с некоторым числом осей. Для начала в качестве примера стоит рассмотреть прямоугольник и ромб, которые имеют две такие оси.

Две оси симметрии характерны для прямоугольника. Это прямые, которые проведены через точки, являющиеся серединами его противоположных сторон.

То же самое (наличие двух осей) присуще и ромбу. Оси являются прямыми, содержащими диагонали данной геометрической фигуры.

Интерес представляет и квадрат, у которого насчитывается четыре оси. Данная фигура является одновременно и ромбом, и прямоугольником. Остальные виды параллелограммов не имеют осей симметрии вообще.

Рис. 5 Оси симметрии ромба

Единственной фигурой, у которой есть три оси симметрии, является равносторонний треугольник. Они представляют собой не что иное, как его медианы, линии соединяющие середины его сторон. Медианы равностороннего треугольник – это его и биссектрисы, и высоты.

Рис. 6 Оси симметрии равностороннего треугольника

В обычной жизни многие даже не задумываются о том, как часто они сталкиваются с различными видами симметрии. Это понятие характерно не только для мира математики. 

Симметрия встречается в мире природы, архитектуре, в мире искусства и композиции, а также в других сферах человеческой жизни.

Осознание данного факта прошло долгий путь во времени, над ним задумывались великие умы на протяжении многих столетий. С древних времен и до настоящего времени определение этого понятия прошло долгий путь развития.

Теги